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Pourquoi associe-t-on les termes "elliptique", "parabolique", "hyperbolique" aux EDP ?

L’EDP [1]
$A \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + B \frac{\partial^2 u}{\partial t \partial x} + C \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + D \frac{\partial u}{\partial t} + E \frac{\partial u}{\partial x} + F u = 0$
peut être transformée en équation polynomiale en cherchant $u$ de la forme $C \exp^{Y t + X x}$ . Ce qui revient à remplacer les dérivées par des monomes de degré adéquat. Ainsi :

si $B^2 - 4AC < 0$ , l’équation est dite "elliptique" comme l’équation de Laplace : $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$ .
Si $B^2 - 4AC = 0$ , l’équation est dite "parabolique" comme l’équation de la chaleur : $\frac{\partial u}{\partial t} = c \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ .
Si $B^2 - 4AC > 0$ , l’équation est dite "hyperbolique" comme l’équation des ondes : $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$ .

Illustrations en deux dimensions d’espace

$- c \Delta u = f$ (elliptique) : équation stationnaire pouvant décrire le comportement de la chaleur au sein d’un corps, le comportement d’un fluide parfait ainsi qu’une partie du caractère élastique d’une structure ...
$\frac{\partial u}{\partial t} = c \Delta u + f$ (parabolique) : équation d’évolution pouvant décrire le comportement thermique au cours du temps d’un corps ...
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \Delta u + f$ (hyperbolique) : équation d’évolution pouvant décrire le comportement vibratoire d’un corps ...

L’existence et l’unicité de la solution (associée à chacune des EDP avec leurs CL [2] adéquates) sont en particulier obtenues en utilisant la coercivité (ou mieux son ellipticité, lorsque c’est possible) de l’opérateur principal de la formulation variationnelle associée.
Les solutions associées aux 3 EDP se différencient en regardant leur évolution suivant t (le temps par exemple). La première est stationnaire. Les deux autres sont non obligatoirement stationnaires. Pour f nul, la solution associée à l’EDP parabolique peut être caractérisée par la décroissance exponentielle de sa norme [3]. Par contre, la solution associée à l’EDP hyperbolique doit vérifiée que l’énergie est bien conservée (sans perte ni apport) [4]. Ainsi, on a :

un modèle d’équilibre stationnaire pour les équations elliptiques,
un modèle d’évolution dissipatif pour les équations paraboliques et
un modèle d’évolution conservatif pour les équations hyperboliques.

En savoir plus :

[1] Equation aux Dérivées Partielles

[2] Conditions Limites

[3] Il est facile de le vérifier pour la solution approchée

[4] Il est moins facile de le vérifier pour la solution approchée

Mis à jour le vendredi 8 juillet 2011, par : Wilk

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