Ch. 0 : Rappels et topologie dans \mathbbR , \mathbbR^2 , ..., \mathbbR^n

• Définitions et notations ;
• Structure d’espace vectoriel ;
• Structure euclidienne : produit scalaire, norme, distance ;
• Représentation géométrique : droite, segment, hyperplan, hypersphère ;
• Structure topologique : boule ouverte, ensemble ouvert, fermé, frontière ;
  

Ch. 1 : Fonctions réelles de plusieurs variables.

• Définition, opérations ;
• Quelques fonctions particulières : linéaires, affines, quadratiques, polynômes

Ch. 1 : Fonctions réelles de plusieurs variables (fin)

• limite et continuité ;

Ch 2 : Calcul différentiel

• 1) dérivées partielles premières :
  • définition, gradient, jacobienne, différentiabilité,
  • vocabulaire en économie : marginale, élasticité
  • dérivation de fonctions composées
  • formule d’Euler
• 2) dérivées partielles successives :
  • dérivées partielles secondes, hessienne, hessien, théorème de Schwarz
  • dérivées partielles d’ordre supérieur à 2

Ch 2 : Calcul différentiel (suite et fin)

• 3) Formule de Taylor à l’ordre 1 et 2,
  interprétation comme approximation d’un accroissement
• 4) Compléments sur les différentielles :
  • propriétés des différentielles
  • invariance de la différentielle par changement de variables
• 5) Notions sur les dérivées directionnelles

Ch 3 : Fonctions implicites

• définitions, théorèmes

Ch 3 : Fonctions implicites (suite et fin)

• courbes de niveaux : points réguliers, propriétés du gradient pour les courbes de niveaux
• Application économique : taux marginal de substitution
• Systéme d’équations implicites linéaires , résolution
• Ssystème d’equations implicites C1 non linéaires (début)
• Exemple économique : modèle IS LM

Ch 4 : Convexité et extréma

• Convexité :
  • définitions, propriétés, exemples
  • fonctions et ensembles convexes
  • Condition du 1er ordre, condition du second ordre.

Ch 4 : Convexité et extrémal (suite et fin)

• Extrema :
  • définitions,
  • Etude locale :
    • condition nécessaire d’existence d’un extrémum local (1er ordre).
    • condition suffisante d’existence d’un maximum (minimum, point selle) local (2eme ordre)
  • Etude globale :
    • conditions d’existence d’un minimum/maximum global (convexité/concavité)
    • caractérisation en 2D par les courbes de niveau.
• Application à la méthode des moindres carrés.

Ch 5 : Optimisation sous contraintes d’égalité

• Introduction
• Détails du problème pour 1 contrainte d’égalité
• Lagrangien et multiplicateur de Lagrange
• Condition nécessaire d’ordre 1 pour 1 liaison.

Ch 5 : Optimisation sous contraintes d’égalité (suite)

• Condition nécessaire d’ordre 1 pour p liaisons.
• Hessienne de L et hessienne bordée,
• conditions suffisantes du 2nd ordre pour 1 liaison, etude locale
• matrice défnie (positive/négative) sur un sous-espace (conditions sur les mineurs principaux)

Ch 5 : Optimisation sous contraintes d’égalité (suite et fin)

• Influences des paramètres : théorèmes de l’enveloppe.

Ch 6 : Optimisation sous contraintes d’inégalité :

• introduction par un exemple,
• Jacobienne des contraintes - condition de qualification
• le Lagrangien L, les multiplicateurs de Lagrange
• conditions necessaires du 1er ordre pour 1 contrainte

Ch 5 : Optimisation sous contraintes d’égalité (suite et fin)

• Influences des paramètres : théorèmes de l’enveloppe.

Ch 6 : Optimisation sous contraintes d’inégalité :

• introduction par un exemple,
• Jacobienne des contraintes - condition de qualification
• le Lagrangien L, les multiplicateurs de Lagrange
• conditions necessaires du 1er ordre pour 1 contrainte
• conditions necessaires du 1er ordre pour m contraintes

Ch 6 : Optimisation sous contraintes d’inégalité (suite) :

• Théorème de Kuhn et Tucker.
  • le Lagrangien, conditions necessaires du 1er ordre
• Contraintes mixtes :
  • le Lagrangien généralisé, conditions necessaires du 1er ordre
• Conditions locales du 2ème ordre
• Cas convexe : conditions nécessaires et suffisantes d’optimum global, fonctions quasi-concaves

Cours n°9 : mardi 23 avril 2013
Ch 6 : Optimisation sous contraintes d’inégalité (suite et fin) :

• Cas linéaire (exemple avec le simplexe)
• Approche duale et problème dual

Systèmes d’équations différentielles

Cours n°11 : mardi 7 mai 2013
Systèmes d’équations différentielles (suite et fin)

Cours n°12 : mardi 14 mail 2013
Systèmes d’équations récurrentes

Cours n°13 : mardi 21 mai 2013
Systèmes d’équations récurrentes (suite et fin)

Cours n°14 : mardi 28 mai 2013
Révisions