Les mathématiques comparent des phénomènes
les plus diversifiés et découvrent les analogies
secrètes qui les unissent.
    J.B.J. Fourier

MVA107 (Algèbre linéaire et géométrie) - Avancement du cours

Vous trouverez ici l’avancement du cours mis à jour chaque semaine.

COURS N° 1 DU VENDREDI 4 OCTOBRE 2O13.

Les Thèmes Abordés seront ceux mentionnés ci-dessous :

  • ESPACES ET SOUS-ESPACES VECTORIELS et les notions liées,comme bases, systèmes libres, liés,..
  • APPLICATIONS LINEAIRES et les notions liées comme images, noyaux,et liens entre applications linéaires...
  • MATRICES comme traductions d’applications linéaires dans différentes bases, calculs de changements de bases vectoriels et matriciels,calculs avec des matrices.

. COURS N° 2 DU VENDREDI 11 OCTOBRE 2O13.

APPLICATIONS LINEAIRES .CALCUL MATRICIEL .APPLICATIONS.

  • Images de systèmes de vecteurs par des applications linéaires.
  • Théorème du rang ou théorème noyau-image,ou de la dimension.
  • Définition d’une matrice comme représentation d’une application linéaire dans différentes bases.
  • Traduction des changements de bases via les matrices.
  • Matrices carrées et notions d’inversion et de déterminant liées à cette catégorie de matrice.
  • Utilisations du calcul matriciel à la résolution de systèmes linéaires.

COURS N ° 3 DU VENDREDI 18 OCTOBRE 2O13.

Déterminants et Applications aux calculs d’inverses de matrices carrées.

Le déterminant caractérise ,par un calcul, l’inversibilité d’une matrice carrée,et permet la résolution des systèmes linéaires,ainsi que la réduction des matrices carrées en des formes diagonales, ou trigonales-Jordan.

  • Applications multilinéaires alternées.
  • Formes multilinéaires alternées.
  • Importance des formes bilinéaires symétriques,et bilinéaires symétriques positives et défines-positives:lien avec les notions de produit scalaire et norme sur des espaces de dimensions quelconques.
  • Définition Théorique d’un déterminant à travers les notions de permutation et transposition : difficulté d’utilisation de cette définition.
  • Techniques de calculs pratiques des déterminants, à travers les propriétés fondamentales des déterminants.
  • Applications des déterminants : Les formules de Cramer relatives à la résolution des systèmes linéaires ; L’utilisation fondamentale des déterminants pour les calculs de polynômes caractéristiques , de polynômes minimaux et de polynômes annulateurs.

COURS N ° 4 DU VENDREDI 25 OCTOBRE 2O13. LES SYSTEMES LINEAIRES ET LES TECHNIQUES DE RESOLUTION.

LES SYSTEMES LINEAIRES : PRINCIPES CALCULATOIRES DE RESOLUTION.

  • Définitions et propriétés de base.
  • Solution et compatibilité.
  • Liens avec les S.E.V. de solutions et les S.E.A. de solutions.
  • Résolution des systèmes linéaires échelonnés : les principales étapes à suivre.
  • Méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan : pivots de plus grand module, technique de balayage ligne.
  • Utilisation des déterminants, rang, formules de Cramer,déterminant bordant, et applications concrètes.
  • Résolution par Technique de Moindres Carrés, notion de pseudo-solution,exemples.

COURS N ° 5 DU VENDREDI 8 NOVEMBRE 2O13. REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARREES.

DEBUT DU THEME AVEC LES PRINCIPALES DEFINITIONS ET LES PREMIERES PROPRIETES DE BASE.

REDUCTION D’UN ENDOMORPHISME EN DIMENSION FINIE, D’UNE MATRICE.

  • Polynôme caractéristique et racines de ce dernier, les valeurs propres et leurs ordres de multiplicité,vecteurs propres associés et sous-espaces propres avec leurs dimensions respectives.
  • Les notions de polynômes scindés, de polynômes scindés à racines simples, à racines multiples.
  • Liens entre les dim des sep et les ordres de multiplicité des valeurs propres.
  • Les CNS et Les CS de diagonalisation matricielle.
  • Algorithme de recherche d’une matrice diagonale semblable à une matrice donnée.
  • Le cas important des matrices symétriques réelles et l’orthodiagonalisation, description de BON de vecteurs propres, et lien avec les espaces euclidiens.
  • Réduction d’un endomorphisme NON diagonalisable:recherche d’une base adaptée de Jordan, et réduite triangulaire de Jordan.
  • Utilisation de la trace et du déterminant dans le calcul des valeurs propres.
  • Exemples de matrices réduites par jordanisation.

COURS N ° 6 DU VENDREDI 15 NOVEMBRE 2O13.

POLYNOME ANNULATEUR, THEOREME DE CAYLEY-HAMILTON,THEOREME DE DECOMPOSITION A-D-N DE DUNFORD, CAS DES MATRCES NILPOTENTES, PUISSANCES DE MATRICES, RESOLUTION DE SYSTEMES AUX DIFFERENCES FINIS ET DIFFERENTIELS LINEAIRES DU 1 ER ORDRE.

  • Description de la méthode de construction des bases adaptées de Jordan : exemples dans R^2, R^3 , R^4.
  • Importance des réduites de Jordan,à travers des exemples simples.
  • Polynôme caractéristique-polynôme annulateur,évocation de la notion de polynôme minimal.
  • Factorisation d’une réduite de Jordan en D (diagonale) et N(nilpotente) : importance de cette somme .
  • Puissance n ième de matrices à travers factorisations et applications.
  • Utilisation de la division euclidienne polynomiale pour les puissances n ièmes de matrices.
  • Résolution de systèmes aux différences finies linéaires et de systèmes différentiels linéaires via réduction matricielle, nombreux exemples.

COURS N ° 7 DU VENDREDI 22 NOVEMBRE 2O13.

ESPACES VECTORIELS NORMES , ESPACES EUCLIDIENS.

  • Définitions et propriétés fondamentales des Espaces Vectoriels Normés, en dimension finie et en dimension infinie.
  • Les normes usuelles : norme 1, norme 2, normes p >=1,norme infinie ou norme uniforme.
  • Equivalence des normes en dimension finie , pas en dim infinie.
  • Forme bilinéaire symétrique définie-positive : produit scalaire , propriétés essentielles, applications courantes.
  • Très nombreux exemples en dim finie et infinie.
  • Les notions métriques : inégalité de Cauchy-Schwarz et nombreuses applications,inégalité triangulaire renversée,identité du parallélogramme,identité de polarisation.
  • Distance attachée à une norme, écart angulaire,applications.
  • Vecteurs orthogonaux,famille orthogonale, famille orthonormale.
  • Processus d’orthonormalisation de Gram-Schmidt et nombreuses illustrations.
  • Orthogonal d’une partie.

COURS N ° 8 DU VENDREDI 29 NOVEMBRE 2O13.

ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS,Espaces préhilbertiens réels.

  • Sous-espaces vectoriels orthogonaux et propriétés.
  • Différentes formes de l’inégalité de Minkowski et applications.
  • Le théorème de Pythagore dans les E.V.E et ses applications.
  • Décomposition d’un EVE en somme directe orthogonale de sev orthogonaux.
  • Etude détaillée des projecteurs et des symétries dans les EVE.
  • Projections orthogonales et matrices associées dans des bon.
  • Distance à un sev, distance minimale suivant norme associée au produit scalaire envisagé.
  • Liens nombreux avec la géométrie euclidienne.
  • Très nombreux exemples de produits scalaires définis par des intégrales définies.

COURS N ° 9 DU VENDREDI 6 DECEMBRE 2O13.

RETOUR SUR LES SYMETRIES ORTHOGONALES,ADJOINT d’Endomorphisme,Isométries,matrices Orthogonales, liens avec le Théorème Spectral.

MATRICES ORTHOGONALES ET FORMES QUADRATIQUES.

  • Principaux résultats sur les matrices orthogonales.
  • Définition des F.B. et des F.B.S. ;puis des F.B.S D.P. et F.B.S D.N.
  • Liens entre les F.B.S. et les formes quadratiques.
  • Propriétés de ces dernières ,liaison avec les matrices symétriques réelles.
  • Décomposition d’une forme quadratique en somme de formes linéaires linéairement indépendantes : technique matricielle via valeurs et vecteurs propres// technique de la décomposition de Gauss et lien avec les fonctions de plusieurs variables et les extréma et nature.
  • Très nombreux exemples illustrant le Cours.

COURS N ° 1O DU VENDREDI 13 DECEMBRE 2O13.

ALGEBRE BILINEAIRE ET GEOMETRIE : LES DIFFERENTS OPERATEURS ET LEURS ECRITURES MATRICIELLES.

  • Ecriture matricielle des produits scalaires : notion de norme matricielle, notion d’opérateur.
  • Produit scalaire et Changement de Bases, exemple d’application.
  • Endomorphisme Symétrique : définition et principales propriétés.
  • Matrice Symétrique liée à un endomorphisme symétrique : définition et propriétés essentielles.
  • F.B.S. dégénérée et non dégénérée,notion de vecteur isotrope.
  • Endomorphisme Adjoint : définition et propriétés essentielles, et applications simples.
  • Opérateurs Orthogonaux : définition et principaux théorèmes pratiques, illustrés d’exemples simples.
  • Dans un EVE de dim 3 : bon directe, et bon indirecte, produit mixte, produit vectoriel, double produit vectoriel, principales applications en Analyse Vectorielle des Champs de Rot, de scalaires, ...
  • Théorème Fondamental de la somme directe orthogonale, dans un EVE de dim n>=2, avec un opérateur u orthogonal.
  • Introduction des endo anti-symétrique et lien avec le produit vectoriel dans R^3.

COURS N ° 11 DU VENDREDI 2O DECEMBRE 2O13.

  • Caractérisations des symétries orthogonales dans un EVE.
  • Détermination de matrices orthogonales et symétriques.
  • Rotation et Réflexion:caractérisation,axe et angle via produit vectoriel.
  • Caractérisation et propriétés fondamentales des opérateurs et des matrices antisymétriques.
  • Opérateurs adjoints et auto-adjoints:liens avec les opérateurs orthogonaux.

ANALYSE VECTORIELLE ET APPLICATIONS.

  • Propriétés Métriques des Surfaces Paramétrées.

Définitions et propriétés fondamentales des applications linéaires dérivées.

Matrice jacobienne de transformations de Classe C^1, utilisation pratique dans les changements de Variables.

Définitions des surfaces et des nappes paramétrées. Plan tangent à une surface paramétrée, normale extérieure. Equation cartésienne des nappes, plan tangent, normale extérieure, Paramétrage en sphérique,et en cylindrique. Dérivation en chaîne, et application à des fonctions composées de plusieurs variables, tout étant de classe au moins C^1.

COURS N ° 12 DU VENDREDI 1O JANVIER 2O14. ABSCISSE CURVILIGNE, CIRCULATION, AIRE :ANALYSE VECTORIELLE ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE.

  • Opérateurs Vectoriels de base et propriétés fondamentales :

Le Gradient et les champs scalaires. La Divergence et la transformation champ vectoriel-champ scalaire. Le Rotationnel et la transformation champ vectoriel- champ vectoriel.

  • Les Relations Importantes entre les Opérateurs vectoriels de base.
  • Le Laplacien : un opérateur " à part".
  • Les Théorèmes de Primitivation:réciprocité non évidente.
  • Etude des ouverts étoilés, des convexes, des connexes, utilité absolue de travailler dans ces catégories d’ouverts.
  • Courbes, Surfaces et Intégrales Associées.

Définition d’une courbe du plan, de l’espace. Définition d’ une surface. Paramétrages Admissibles pour une courbe, pour une surface. Définition des chemins rectifiables et injectifs,longueur d’un tel chemin. Notion de couverture et régularité et orientation classique. Vecteur Tangent à une courbe, à une surface. Vecteur normal à une surface, et utilité de l’orientation "classique". Longueur d’une courbe, Aire d’une Surface : techniques de calculs.

  • Intégrales sur un chemin, Intégrales le long d’un chemin.Calculs simples.
  • Intégrales sur une surface,Intégrales superficielles.
  • Les Formules Fondamentales :

Green dans le plan ; Gauss et divergence ; Stokes et applications.

COURS N° 13 DU VENDREDI 17 JANVIER 2O14.

Homotopie de chemins,Champ exact, formes différentielles exactes, fermées, calculs d’intégrales liées à ces formes, champs de vecteurs.

ETUDE DETAILLEE DES FORMES DIFFERENTIELLES.

  • Forme différentielle de degré 1:notation différentielle,base duale de R^n,forme différentielle exacte, forme fermée, liens.
  • Intégrale d’une 1-forme différentielle, notion de lacet,,Théorème de Poincaré et conséquences.
  • Propriétés de base : changement de paramètre,relation de Chasles, Inégalité de la moyenne, et applications.
  • Champs de Vecteurs,Champs de Scalaires, Opérateurs fondamentaux:Grad, Rot, Div, Laplacien.
  • Les 12 formules de base de l’analyse vectorielle, via les opérateurs fondamentaux.
  • Circulation, Intégrale curviligne, formule de Green-Riemann, et applications à des calculs simples.
  • Flux, passage intégrale simple-intégrale double//
  • Flux, passage intégrale double-intégrale triple.
  • Formule de Stokes, Formule d’Ostrogradski, applications.

COURS N ° 14 DU VENDREDI 24 JANVIER 2O14.

NAPPE PARAMETREE ET COURBE :LIENS AVEC L’ANALYSE VECTORIELLE.

  • Longueur d’un arc régulier tracé sur une surface régulière paramétrée:Cas Général, formule utilisant l’abscisse curviligne ; Cas d’une surface d’équation cartésienne.

Cas d’une surface avec des coordonnées sphériques ;

Cas d’une surface avec des coordonnées cylindriques.

  • Aire d’une nappe paramétrée : Cas général,formule donnant l’élément d’aire ;

Elément d’aire : Cas d’une surface en coordonnées cartésiennes ;

Elément d’aire : Cas d’une surface en coordonnées sphériques ;

Elément d’aire : Cas d’une nappe en coordonnées cylindriques ;

  • Calcul de l’aire d’une nappe régulière paramétrée:utilisation de la normale et de sa norme euclidienne ;

exemples simples de l’aire de la sphère, du cylindre, de l’ellipsoide ;

exemple de l’aire de la boucle du folium de Descartes ;

exemple de calcul de circulation via paramétrage non évident ;

exemple de calcul de l’aire d’une portion de surface à paramétrer.

  • Lien avec des calculs de flux via Stokes et Ostrogradski.

COURS N ° 15 DU 31 JANVIER 2O14 : DERNIER COURS DU SEMESTRE.

  • Retour sur des thèmes de réduction , d’opérateurs dans des E.V.E.

FORMULATION DU CALCUL EXTERIEUR ET PRINCIPAUX LIENS AVEC L’ANALYSE VECTORIELLE.

  • L’Opérateur différentiel d’ordre 1 ; L’Opérateur différentiel d’ordre 2.
  • Les formules du calcul extérieur et leur utilité en analyse vectorielle.
  • Exemples d’utilisation des calculs.
  • Calculs d’intégrales de surface, liens avec les formules classiques, fédération de ces formules classiques.

POLYNOME MINIMAL ET JORDANISATION DES MATRICES : exemples simples de calculs.

REDUCTION DE FORMES QUADRATIQUES PAR DES TECHNIQUES DE DERIVEES PARTIELLES : étude d’un exemple dans R^4.

FIN DU COURS DE MVA 107 POUR CE SEMESTRE.



Mis à jour le vendredi 31 janvier 2014, par : Gil


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