Les mathématiques comparent des phénomènes
les plus diversifiés et découvrent les analogies
secrètes qui les unissent.
    J.B.J. Fourier

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QCM5 : Sensibilité de la solution à la précision des données.

(Retour à la liste des QCMS d’Analyse numérique matricielle et optimisation).

Comme vous avez pu le voir en cours, la matrice et le second membre des systèmes linéaires, que vous pourrez être amenés à résoudre, peuvent contenir des "erreurs". En conséquence, la solution des systèmes linéaires peut contenir une erreur. Ainsi, l’écriture générale du système linéaire perturbé peut être :  (A + \delta A) (x + \delta x) = b + \delta b .

Avant de s’intéresser à l’influence de l’erreur sur la matrice, on peut considérer le système linéaire perturbé suivant :  \~A (x + \delta x) = b + \delta b . Ainsi nous pouvons contrôler l’erreur relative par :  \frac{||\delta x||}{||x||} \leq || {\~A}^{-1} || ~ || \~A || ~~ \frac{||\delta b||}{||b||} . Ce qui nous permet d’apprécier la manière dont la matrice (quelle soit perturbée ou non !) peut influencer la qualité de la solution !

En utilisant la norme subordonnée 2, nous avons le conditionnement :  Cond_2 \~A =  || {\~A}^{-1} ||_2 ~ || \~A ||_2 . Ainsi, pour toute matrice symétrique réelle :  Cond_2 \~A =  \frac{| \lambda_{max} |}{| \lambda_{min} |} .

-Quelle est la meilleure de deux propositions suivantes pour estimer  Cond_2 \~A ?



-Si  Cond_2\~A = 100 et que l’erreur relative sur le second membre vaut 10 pourcent. Est ce que l’on aura ?




-Que peut-on faire pour remédier au problème de mauvais conditionnement ?





Mis à jour le mercredi 15 juin 2011, par : Wilk


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