Les mathématiques comparent des phénomènes
les plus diversifiés et découvrent les analogies
secrètes qui les unissent.
    J.B.J. Fourier

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QCM4 : Influence de l’arrondi.

(Retour à la liste des QCMS d’Analyse numérique matricielle et optimisation).

Vous avez développé un programme informatique (par exemple en fortran ou en C) permettant de résoudre un système linéaire avec la méthode de Gauss (sans permutation). Vous avez déclaré les variables réelles utilisées dans votre programme comme étant des réels "simple précision" (en fortran : real*4, le réel est stocké sur 4 octets).

Illustrons le mécanisme d’arrondi pouvant mettre en défaut le programme ci-dessus en exécutant ce programme fortran. Nous obtenons :

    a           b          c
    0.100D-06  0.100D-07  0.100D+01

    s1 = c+a   s2 = c+b
    0.100D+01  0.100D+01

    a = s1-c   b = s2-c
    0.119D-06  0.000D+00

On se rend compte que "l’ordinateur" a tronqué quelque chose ! L’opération "s2 - c" ne permet pas de retrouver "b" (pour "a" c’est un peu mieux, même si cela n’est pas parfait ! Mais laissons cela de côté.)

On vous demande de tester votre programme sur le système linéaire suivant :  \left\{ \begin{array}{ccc}
10^{-8} & x + y = 1 \\
~       & x + y = 3
\end{array} \right. . Votre programme doit normalement trouver la solution suivante :  \left\{ \begin{array}{ccc}
x = 0 \\
y = 1
\end{array} \right. . Mais bien sur, ce n’est pas la bonne solution ! Pour vous en convaincre, vous pouvez résoudre à la main en utilisant la méthode de Gauss (avec  1 - 10^{8} = 10^{8} ) !

-Quel solution envisagez-vous pour résoudre ce problème ?



Remarque : Dans tous les cas (quelque soit la méthode de résolution choisie, quelque soit le type de réel choisi), il peut être utile d’évaluer la précision de la solution obtenue. En pratique, on calcule la norme du résidu  R = b - A x divisée par celle du second membre, c’est à dire :  \frac{|| b - A x ||}{|| b ||} .



Mis à jour le mercredi 15 juin 2011, par : Wilk


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