Les mathématiques comparent des phénomènes
les plus diversifiés et découvrent les analogies
secrètes qui les unissent.
    J.B.J. Fourier

MVA113 - Avancement - Méthodes mathématiques pour la finance et l’économie (2)

L’avancement sera mis au fur et à mesure du déroulement du cours sur Pleiad.

Les documents sont mis sur Pleiad.

Avancement du cours 21013-14 :

Cours n°1 : mardi 18 février 2014 (premier cours)

Ch. 0 : Rappels et topologie dans \mathbbR , \mathbbR^2 , ..., \mathbbR^n

  • Définitions et notations ;
  • Structure d’espace vectoriel ;
  • Structure euclidienne : produit scalaire, norme, distance ;
  • Représentation géométrique : droite, segment, hyperplan, hypersphère ;
  • Structure topologique : boule ouverte, ensemble ouvert, fermé, frontière ;

Ch. 1 : Fonctions réelles de plusieurs variables.

  • Définition, opérations ;
  • Quelques fonctions particulières : linéaires, affines, quadratiques, polynômes

Cours n°2 : mardi 25 février 2014

Ch. 1 : Fonctions réelles de plusieurs variables (fin)

  • limite et continuité ;

Ch 2 : Calcul différentiel

  • 1) dérivées partielles premières :
    • définition, gradient, jacobienne, différentiabilité,
    • vocabulaire en économie : marginale, élasticité
    • dérivation de fonctions composées
    • formule d’Euler
  • 2) dérivées partielles successives :
    • dérivées partielles secondes, hessienne, hessien, théorème de Schwarz
    • dérivées partielles d’ordre supérieur à 2

Cours n°3 : mardi 4 mars 2014

Ch 2 : Calcul différentiel (suite et fin)

  • 3) Formule de Taylor à l’ordre 1 et 2, interprétation comme approximation d’un accroissement
  • 4) Compléments sur les différentielles :
    • propriétés des différentielles
    • invariance de la différentielle par changement de variables
  • 5) Notions sur les dérivées directionnelles

Ch 3 : Fonctions implicites

  • définitions, théorèmes

Cours n°4 : mardi 11 mars 2014

Ch 3 : Fonctions implicites (suite et fin)

  • courbes de niveaux : points réguliers, propriétés du gradient pour les courbes de niveaux
  • Application économique : taux marginal de substitution
  • Systéme d’équations implicites linéaires , résolution
  • Ssystème d’equations implicites C1 non linéaires (début)
  • Exemple économique : modèle IS LM

Ch 4 : Convexité et extréma

  • Convexité :
    • définitions, propriétés, exemples
    • fonctions et ensembles convexes
    • Condition du 1er ordre, condition du second ordre.

Cours n°5 : mardi 18 mars 2014

Ch 4 : Convexité et extrémal (suite et fin)

  • Extrema :
    • définitions,
    • Etude locale :
      • condition nécessaire d’existence d’un extrémum local (1er ordre).
      • condition suffisante d’existence d’un maximum (minimum, point selle) local (2eme ordre)
    • Etude globale :
      • conditions d’existence d’un minimum/maximum global (convexité/concavité)
      • caractérisation en 2D par les courbes de niveau.
  • Application à la méthode des moindres carrés.

Ch 5 : Optimisation sous contraintes d’égalité

  • Introduction
  • Détails du problème pour 1 contrainte d’égalité
  • Lagrangien et multiplicateur de Lagrange
  • Condition nécessaire d’ordre 1 pour 1 liaison.

Cours n°6 : mardi 25 mars 2014

Ch 5 : Optimisation sous contraintes d’égalité (suite)

  • Condition nécessaire d’ordre 1 pour p liaisons.
  • Hessienne de L et hessienne bordée,
  • conditions suffisantes du 2nd ordre pour 1 liaison, etude locale
  • matrice défnie (positive/négative) sur un sous-espace (conditions sur les mineurs principaux)

Cours n°7 : mardi 1 avril 2014

Ch 5 : Optimisation sous contraintes d’égalité (suite et fin)

  • Influences des paramètres : théorèmes de l’enveloppe.

Ch 6 : Optimisation sous contraintes d’inégalité :

  • introduction par un exemple,
  • Jacobienne des contraintes - condition de qualification
  • le Lagrangien L, les multiplicateurs de Lagrange
  • conditions necessaires du 1er ordre pour 1 contrainte

A titre indicatif voici l’avancement de l’année 2012-13

Cours n°7 : mardi 2 avril 2013

Ch 5 : Optimisation sous contraintes d’égalité (suite et fin)

  • Influences des paramètres : théorèmes de l’enveloppe.

Ch 6 : Optimisation sous contraintes d’inégalité :

  • introduction par un exemple,
  • Jacobienne des contraintes - condition de qualification
  • le Lagrangien L, les multiplicateurs de Lagrange
  • conditions necessaires du 1er ordre pour 1 contrainte
  • conditions necessaires du 1er ordre pour m contraintes

Cours n°8 : mardi 16 avril 2013

Ch 6 : Optimisation sous contraintes d’inégalité (suite) :

  • Théorème de Kuhn et Tucker.
    • le Lagrangien, conditions necessaires du 1er ordre
  • Contraintes mixtes :
    • le Lagrangien généralisé, conditions necessaires du 1er ordre
  • Conditions locales du 2ème ordre
  • Cas convexe : conditions nécessaires et suffisantes d’optimum global, fonctions quasi-concaves

Cours n°9 : mardi 23 avril (...)

Cours n°9 : mardi 23 avril 2013 Ch 6 : Optimisation sous contraintes d’inégalité (suite et fin) :

  • Cas linéaire (exemple avec le simplexe)
  • Approche duale et problème dual

Cours n°10 : mardi 30 avril 2013

Systèmes d’équations différentielles

Cours n°11 : mardi 7 mai (...)

Cours n°11 : mardi 7 mai 2013 Systèmes d’équations différentielles (suite et fin)

Cours n°12 : mardi 14 mail (...)

Cours n°12 : mardi 14 mail 2013 Systèmes d’équations récurrentes

Cours n°13 : mardi 21 mai (...)

Cours n°13 : mardi 21 mai 2013 Systèmes d’équations récurrentes (suite et fin)

Cours n°14 : mardi 28 mai (...)

Cours n°14 : mardi 28 mai 2013 Révisions



Mis à jour le jeudi 3 avril 2014, par : Santi


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