Les mathématiques comparent des phénomènes
les plus diversifiés et découvrent les analogies
secrètes qui les unissent.
    J.B.J. Fourier

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Empêcher les ondes de faire du bruit


Par Daniel Bouche, CEA - Direction de physique théorique et appliquée.

Comment échapper à la détection par un radar ? Quelle est la forme optimale d’un mur anti-bruit ? Peut-on améliorer les images échographiques ? Pour recevoir une réponse satisfaisante, ces questions demandent des analyses théoriques poussées.

Qu’est-ce qu’une onde ? Bien malin celui qui saurait donner une réponse à la fois précise et unique à cette question ! Pourtant, les ondes sont omniprésentes et constituent le quotidien d’un grand nombre de scientifiques et d’ingénieurs. En termes un peu vagues et intuitifs, on peut dire qu’une onde est la propagation d’un signal, d’une perturbation, dans un certain milieu, à une vitesse identifiable.

Les exemples ne manquent pas. Il y a bien sùr les vaguelettes que l’on peut créer à la surface de l’eau en y jetant un petit caillou ... les ondes sonores, les ondes acoustiques, les ondes électromagnétiques ...

L’étude du comportement des ondes sert non seulement à comprendre la nature qui nous entoure, mais aussi à maîtriser quantité de techniques, et a fortiori à créer de nouvelles inventions pointues. Le comportement des ondes lumineuses touche tout le domaine des instruments optiques, qu’il s’agisse d’objectifs photographiques, de microscopes, d’appareils de télémétrie, etc. On peut penser aux ondes radar et à leurs applications militaires, à la conception d’engins militaires furtifs, c’est-à-dire qui échappent autant que faire se peut à la détection par les radars. Quant aux ondes acoustiques, on peut évoquer la conception de salles de concert ayant une acoustique optimale, de matériaux ou de structures absorbant le bruit, de dispositifs anti-bruit actifs (c’est-à-dire qui émettent des ondes sonores opposés à celles du bruit, pour neutraliser celui-ci), d’appareils d’échographie ou de destruction de calculs rénaux, d’appareils de contrôle non destructif (détection de défauts dans des pièces d’avions par exemple), etc.

Des équations connues, mais difficiles à résoudre avec précision

Les équations qui régissent les différents types d’ondes sont bien connues depuis longtemps. Ainsi, celles relatives aux ondes électromagnétiques ont été établies par le physicien écossais James Clerk Maxwell il y a plus d’un siècle, vers 1870. Mais il ne suffit pas de connaître les équations auxquelles obéit une onde radar, par exemple, pour savoir comment cette onde va se propager, interagir avec l’obstacle — constitué par un avion ou un autre objet que l’on cherche à détecter et à localiser — et se réfléchir partiellement vers l’antenne radar qui l’a émise. Il faut en effet pouvoir résoudre ces équations, dont l’inconnue est le champ ondulatoire, c’est-à-dire les amplitudes de l’onde en chaque point de l’espace et à tout instant. Ce n’est pas du tout facile. Il s’agit d’équations aux dérivées partielles ...

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Si vous voulez poursuivre la lecture de cet article, vous pouvez le télécharger ICI. Cette article fait partie d’une brochure intitulée "L’explosion des mathématiques" réalisée par la SMF et la SMAI.

Si vous voulez en savoir plus sur les équations aux dérivées partielles, vous pouvez suivre les cours suivants :

- analyse numérique des équations aux dérivées partielles,
- modélisation en mécanique des fluides et des structures,
- équations aux dérivées partielles.



Mis à jour le lundi 16 mai 2011, par : Wilk


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