Compléments de correction de la feuille de TD 4 (visualisations graphiques)

Exercice 2

1) $ \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - e^x}{x}$

La fonction exponentielle est inifiniment dérivable en $x=0$. Le développement limité (DL) de la fonction exponentielle à l'ordre $n$ au point $x=0$ est obtenu avec la formule de Taylor :

$$e^{x}\underset{0}{=} 1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x_{{}}^{3}}{3!}+...+\dfrac{x_{{}}^{n}}{n!}+\mathcal{o}(x^n)$$

A l'ordre 1, le développement limité de $e^x$ en $x=0$ est égal à : $$e^{x} \underset{0}{=} 1+x+\mathcal{o}(x)$$

$\rightarrow$ On a linéarisé la fonction $e^x$ au voisinage de $x=0$

Tracé du développement limité de $e^x$ au voisinage de $x=0$ à l'ordre 1 :

In [1]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

x = np.linspace(-10,2.5,200)
plt.plot(x,np.exp(x),'r')
plt.plot(x, 1 + x, 'b')
plt.plot(0,1,'ko')
plt.ylim(-1, 8)
plt.legend(('exp(x)', 'DL en 0 à ordre 1'),loc='upper left')
plt.grid(True)

Ainsi, $ \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - e^x}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - (1+x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{-x}{x} = -1$

Tracé de la courbe de la fonction $ \ f : x \mapsto \dfrac{1 - e^x}{x}$ : (on voit clairement que la limite de la fonction quand $x \rightarrow 0$ est bien -1)

In [2]:
x = np.linspace(-6,6,200)
plt.plot(x,(1-np.exp(x))/x,'r')
plt.plot(0,-1,'ko')
plt.ylim(-6, 2)
plt.grid(True)

2) $ \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2}$

La fonction cosinus est inifiniment dérivable en $x=0$. Le développement limité (DL) de la fonction cosinus à l'ordre $n$ au point $x=0$ est obtenu avec la formule de Taylor :

$$\cos(x) \underset{0}{=} 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^{4}}{4!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\mathcal{o}(x^{2n})$$

A l'ordre 2, le développement limité de $\cos(x)$ en $x=0$ est égal à : $$\cos(x) \underset{0}{=} 1-\dfrac{x^2}{2}+\mathcal{o}(x^2)$$

Tracé du développement limité de $\cos(x)$ au voisinage de $x=0$ à l'ordre 2 :

In [3]:
x = np.linspace(-10,10,200)
plt.plot(x,np.cos(x),'r')
plt.plot(x, 1 - (x**2)/2, 'b')
plt.plot(0,1,'ko')
plt.ylim(-2, 2)
plt.legend(('cos(x)', 'DL en 0 à ordre 2'),loc='upper left')
plt.grid(True)

Ainsi, $ \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - (1-\frac{x^2}{2})}{x^2} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

Tracé de la courbe de la fonction $ \ f : x \mapsto \dfrac{1 - \cos(x)}{x^2}$ : (on voit clairement que la limite de la fonction quand $x \rightarrow 0$ est bien $\frac{1}{2}$)

In [4]:
x = np.linspace(-30,30,200)
plt.plot(x,(1-np.cos(x))/x**2,'r')
plt.plot(0,0.5,'ko')
plt.grid(True)

3) $ \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x^2+x}$

La fonction $\ln(1+x)$ est inifiniment dérivable en $x=0$. Le développement limité (DL) de la fonction cosinus à l'ordre $n$ au point $x=0$ est obtenu avec la formule de Taylor :

$$\ln(x+1) \underset{0}{=} x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^{3}}{3!}-\dfrac{x^4}{4!}+ \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{(n)!}+\mathcal{o}(x^{n})$$

A l'ordre 2, le développement limité de $\ln(x+1)$ en $x=0$ est égal à : $$\ln(x+1) \underset{0}{=} x-\dfrac{x^2}{2}+\mathcal{o}(x^2)$$

Tracé du développement limité de $\ln(x+1)$ au voisinage de $x=0$ à l'ordre 2 :

In [5]:
x = np.linspace(-0.999,10,200)
plt.plot(x,np.log(x+1),'r')
plt.plot(x, x - (x**2)/2, 'b')
plt.plot(0,0,'ko')
plt.ylim(-2, 2)
plt.legend(('ln(x+1)', 'DL en 0 à ordre 2'),loc='lower right')
plt.grid(True)

Ainsi, $ \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x^2+x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x - \frac{x^2}{2}}{x^2+x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x(1-\frac{x}{2})}{x(x+1)} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\frac{x}{2}}{x+1}=1$

Tracé de la courbe de la fonction $ \ f : x \mapsto \dfrac{\ln(1+x)}{x^2+x}$ : (on voit clairement que la limite de la fonction quand $x \rightarrow 0$ est bien 1)

In [6]:
x = np.linspace(-0.999,15,200)
plt.plot(x,(np.log(x+1))/(x**2+x),'r')
plt.plot(0,1,'ko')
plt.ylim(-0.5, 5)
plt.grid(True)

Exercice 3 (compléments de correction : visualisations graphiques)

5) Représentation graphique des développements limités en 0 et $\pi$ des fonctions $\tan(x)$ et $\cos(x)$ :

a) En $x=0$

  • Tracé du développement limité de $\tan(x)$ au voisinage de $x=0$ à l'ordre 1 :

$\tan(x) \underset{0}{=} x + o(x)$

In [7]:
x = np.linspace(-4,4,200)
plt.plot(x,np.tan(x),'r')
plt.plot(x, x, 'b')
plt.plot(0,0,'ko')
plt.ylim(-2, 2)
plt.legend(('cos(x)', 'DL en 0 à ordre 1'),loc='upper left')
plt.grid(True)
  • Dérivabilité de $f(x) = \left| \tan(x) \right| + \cos(x)$ en $x=0^-$ :

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{\left| \tan(x) \right| + \cos(x)-(\left| \tan(0) \right| + \cos(0))}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{\left| \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right| + \cos(x)-(0 + 1)}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{- \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \cos(x)- 1}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{- \tan(x)+ \cos(x)- 1}{x}$

or $\quad \tan(x) \underset{0}{=} x + o(x) \quad $ et $ \quad \cos(x) \underset{0}{=} 1 - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$

Donc $\quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{- x+ (1-\dfrac{x^2}{2})- 1}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{x(-1-\dfrac{x}{2})}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} -1-\dfrac{x}{2} = \boldsymbol{-1}$

  • Dérivabilité de $f(x) = \left| \tan(x) \right| + \cos(x)$ en $x=0^+$ :

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{\left| \tan(x) \right| + \cos(x)-(\left| \tan(0) \right| + \cos(0))}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{\tan(x)+ \cos(x)- 1}{x}$

Donc $\quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{x+ (1-\dfrac{x^2}{2})- 1}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{x(1-\dfrac{x}{2})}{x} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} 1-\dfrac{x}{2} = \boldsymbol{1}$

  • Tracé de la courbe de la fonction $ \ f : x \mapsto \left| \tan(x) \right| + \cos(x)$ au voisinage de $x=0$ (on voit clairement que la limite de la dérivée de la fonction est égale à -1 quand $x \rightarrow 0^-$ et à 1 quand $x \rightarrow 0^+$)
In [8]:
x = np.linspace(-4,4,200)
xd = np.linspace(0,1,30)
xg = np.linspace(-1,0,30)
plt.plot(x,np.abs(np.tan(x)) + np.cos(x),'r')
plt.plot(xd, xd+1, 'b')
plt.plot(xg, -xg+1, 'b')
plt.plot(0,1,'ko')
plt.ylim(-1.5, 5)
plt.grid(True)

b) En $x=\pi$

  • Tracé du développement limité de $\tan(x)$ au voisinage de $x=\pi$ à l'ordre 1 :

$\tan(x) \underset{\pi}{=} (x-\pi) + o(x-\pi)$

In [9]:
pi = np.pi
x = np.linspace(-1,6,200)
plt.plot(x,np.tan(x),'r')
plt.plot(x, x-pi, 'b')
plt.plot(pi,0,'ko')
plt.ylim(-2, 2)
plt.legend(('cos(x)', 'DL en π à ordre 1'),loc='upper left')
plt.grid(True)
  • Tracé du développement limité de $\cos(x)$ au voisinage de $x=\pi$ à l'ordre 2 :

$\cos(x) \underset{\pi}{=} -1 + \dfrac{(x-\pi)^2}{2} + o((x-\pi)^2)$

In [10]:
x = np.linspace(-4*pi,4*pi,200)
plt.plot(x,np.cos(x),'r')
plt.plot(x, -1 + (x-pi)**2/2, 'b')
plt.plot(pi,-1,'ko')
plt.ylim(-2, 2)
plt.legend(('cos(x)', 'DL en π à ordre 2'),loc='upper left')
plt.grid(True)
  • Dérivabilité de $f(x) = \left| \tan(x) \right| + \cos(x)$ en $x=\pi^-$ :

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} \dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} \dfrac{\left| \tan(x) \right| + \cos(x)-(\left| \tan(\pi) \right| + \cos(\pi))}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} \dfrac{\left| \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right| + \cos(x)-(0- 1)}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} \dfrac{- \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \cos(x)+ 1}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} \dfrac{- \tan(x)+ \cos(x)+ 1}{x-\pi}$

or $\quad \tan(x) \underset{\pi}{=} (x-\pi) + o(x-\pi) \quad $ et $ \quad \cos(x) \underset{\pi}{=} -1 + \dfrac{(x-\pi)^2}{2} + o((x-\pi)^2)$

Donc $\quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} \dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} \dfrac{- (x-\pi)+ (-1+\dfrac{(x-\pi)^2}{2})+ 1}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} \dfrac{(x-\pi)(-1+\dfrac{(x-\pi)}{2})}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} -1+\dfrac{(x-\pi)}{2} = \boldsymbol{-1}$

  • Dérivabilité de $f(x) = \left| \tan(x) \right| + \cos(x)$ en $x=\pi^+$ :

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^+} \dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^+} \dfrac{\left| \tan(x) \right| + \cos(x)-(\left| \tan(\pi) \right| + \cos(\pi))}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^+} \dfrac{\tan(x)+ \cos(x)+ 1}{x-\pi}$

Donc $\quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^+} \dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^+} \dfrac{(x-\pi) + (-1+\dfrac{(x-\pi)^2}{2})+ 1}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^+} \dfrac{(x-\pi)(1+\dfrac{(x-\pi)}{2})}{x-\pi} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow \pi^-} 1+\dfrac{(x-\pi)}{2} = \boldsymbol{1}$

  • Tracé de la courbe de la fonction $ \ f : x \mapsto \left| \tan(x) \right| + \cos(x)$ au voisinage de $x=\pi$ (on voit clairement que la limite de la dérivée de la fonction est égale à -1 quand $x \rightarrow \pi^-$ et à 1 quand $x \rightarrow \pi^+$)
In [11]:
x = np.linspace(-1,7,200)
xd = np.linspace(pi,pi+1,30)
xg = np.linspace(pi-1,pi,30)
plt.plot(x,np.abs(np.tan(x)) + np.cos(x),'r')
plt.plot(xd, (xd-pi)-1, 'b')
plt.plot(xg, -(xg-pi)-1, 'b')
plt.plot(pi,-1,'ko')
plt.ylim(-1.5, 5)
plt.grid(True)

6) Tracé de la courbe de la fonction $ \ f : x \mapsto \left| \tan(x) \right| + \cos(x)$ :

In [12]:
pi = np.pi
x = np.linspace(-2*pi,2*pi,200)
plt.plot(x,np.abs(np.tan(x)) + np.cos(x),'r')
plt.ylim(-2, 8)
plt.grid(True)